Question

已知△AOB的頂點A在射線l1：y=

3

x(x＞0)上，A，B兩點關于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|•|MB|=3．當點A在l₁上移動時，記點M的軌跡為W．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設N（2，0），過N的直線l與W相交于P、Q兩點．求證：不存在直線l，使得

OP

•

OQ

=1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B兩點關于x軸對稱，得AB邊所在直線與y軸平行．設M（x，y），由題意|AM|•|MB|=3代入點的坐標，即可得點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）先設l：y=k（x-2）或x=2，和點的坐標：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當直線l：y=k（x-2）時：由題意，知點P，Q的坐標是方程組

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與雙曲線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結合根與系數(shù)的關系及向量垂直的條件，從而解決問題．

解答：（Ⅰ）解：因為A，B兩點關于x軸對稱，
所以AB邊所在直線與y軸平行．
設M（x，y），由題意，得A(x，

3

x)， B(x，-

3

x)，
所以|AM|=

3

x-y， |MB|=y+

3

x，
因為|AM|•|MB|=3，
所以(

3

x-y)×(y+

3

x)=3，即x2-

y2

3

=1，
所以點M的軌跡W的方程為x2-

y2

3

=1(x＞0)．
（Ⅱ）證明：設l：y=k（x-2）或x=2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當直線l：y=k（x-2）時：
由題意，知點P，Q的坐標是方程組

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
所以△=（4k²）²-4（3-k²）（-4k²-3）=36（k²+1）＞0，
且3-k²≠0，x1+x2=

4k2

k2-3

， x1x2=

4k2+3

k2-3

，
因為直線l與雙曲線的右支（即W）相交兩點P、Q，
所以x1+x2=

4k2

k2-3

＞0， x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，即k²＞3.1
因為y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂，=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²，
=(1+k2)•

4k2+3

k2-3

-2k2•

4k2

k2-3

+4k2=

3-5k2

k2-3

，
要使

OP

•

OQ

=1，則必須有

3-5k2

k2-3

=1，解得k²=1，代入1不符合．
所以不存在l，使得

OP

•

OQ

=1．
當直線l：x=2時，P（2，3），Q（2，-3），

OP

•

OQ

=-5，不符合題意．
綜上：不存在直線l使得

OP

•

OQ

=1．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、軌跡方程、雙曲線方程、向量的運算等基礎知識，考查運算求解能力、轉化思想．屬于中檔題．