Question

如圖，在長方體ABCD=A₁B₁C₁D₁ 中，AA₁=AD=a，AB=2a，E為C₁D₁的中點．
（1）求證：DE⊥平面BEC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長方體的幾何特征可得DE⊥BC，由勾股定理可得DE⊥EC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得DE⊥平面BEC；
（2）由（1）中結(jié)構(gòu)，可得DE為平面BEC上的高，根據(jù)AA₁=AD=a，AB=2a，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵BC⊥側(cè)面CDD₁C₁，
DE?側(cè)面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC---（2分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，
則有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC，----（4分）
又∵BC∩EC=C，BC，EC?平面BEC
∴DE⊥平面BEC．----（6分）
解：（2）BC⊥側(cè)面CDD₁C₁，
CE?側(cè)面CDD₁C₁，
∴CE⊥BC---（8分）
則S△_BCE=

1

2

•BC•CE=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2----（9分）
又∵DE⊥平面BEC
DE就是三棱錐E-BCD的高----（10分）
則三棱錐E-BCD的體積V=

1

3

•DE•S△_BCE=

1

3

•

2

a•

2

2

a2=

a3

3

---（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．