已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(1)求b的值;
(2)若f(x)在x=t處取得極小值,記此極小值為g(t),求g(t)的定義域和值域.
【答案】
分析:(1)函數(shù)f(x)=x
3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,則求出f′(x)得到一個二次函數(shù),利用x=
=2求出b即可;(2)求出f′(x),由(1)得函數(shù)的對稱軸為x=2,討論c的取值范圍求出g(t)的定義域和值域即可.
解答:解:(1)f′(x)=3x
2+2bx+c
因為函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,
所以
,于是b=-6
(2)由(Ⅰ)知,,f(x)=x
3-6x
2+cx
f′(x)=3x
2-12x+c=3(x-2)
2+c-12
(。┊(dāng)c≥12時,f′(x)≥0,此時f(x)無極值.
(ii)當(dāng)c<12時,f′(x)=0有兩個互異實根x
1,x
2.
不妨設(shè)x
1<x
2,則x
1<2<x
2.
當(dāng)x<x
1時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(-∞,x
1)內(nèi)為增函數(shù);
當(dāng)x
1<x<x
2時,f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(x
1,x
2)內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)x>x
2時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(x
2,+∞)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x=x
1處取極大值,在x=x
2處取極小值.
因此,當(dāng)且僅當(dāng)c<12時,函數(shù)f(x)在x=x
2處存在唯一極小值,所以t=x
2>2.
于是g(t)的定義域為(2,+∞).
由f′(t)=3t
2-12t+c=0得c=-3t
2+12t.
于是g(t)=f(t)=t
3-6t
2+ct=-2t
3+6t
2,t∈(2,+∞).
當(dāng)t>2時,g′(t)=-6t
2+12t=6t(2-t)<0
所以函數(shù)g(t)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
故g(t)的值域為(-∞,8)
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及確定函數(shù)極值存在位置的能力,以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個極其重要的應(yīng)用,它大大簡化了證明單調(diào)性的方法.