已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(1)求b的值;
(2)若f(x)在x=t處取得極小值,記此極小值為g(t),求g(t)的定義域和值域.
【答案】分析:(1)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,則求出f′(x)得到一個二次函數(shù),利用x==2求出b即可;(2)求出f′(x),由(1)得函數(shù)的對稱軸為x=2,討論c的取值范圍求出g(t)的定義域和值域即可.
解答:解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c
因為函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,
所以,于是b=-6
(2)由(Ⅰ)知,,f(x)=x3-6x2+cx
f′(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12
(。┊(dāng)c≥12時,f′(x)≥0,此時f(x)無極值.
(ii)當(dāng)c<12時,f′(x)=0有兩個互異實根x1,x2
不妨設(shè)x1<x2,則x1<2<x2
當(dāng)x<x1時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(-∞,x1)內(nèi)為增函數(shù);
當(dāng)x1<x<x2時,f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)x>x2時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(x2,+∞)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x=x1處取極大值,在x=x2處取極小值.
因此,當(dāng)且僅當(dāng)c<12時,函數(shù)f(x)在x=x2處存在唯一極小值,所以t=x2>2.
于是g(t)的定義域為(2,+∞).
由f′(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t.
于是g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2,+∞).
當(dāng)t>2時,g′(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0
所以函數(shù)g(t)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
故g(t)的值域為(-∞,8)
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及確定函數(shù)極值存在位置的能力,以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個極其重要的應(yīng)用,它大大簡化了證明單調(diào)性的方法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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