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【題目】如圖，點在拋物線外，過點作拋物線的兩切線，設兩切點分別為，，記線段的中點為.

（Ⅰ）求切線，的方程；

（Ⅱ）證明：線段的中點在拋物線上；

（Ⅲ）設點為圓上的點，當取最大值時，求點的縱坐標.

【答案】（Ⅰ）切線的方程為,切線的方程為.

（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）結合導數的幾何意義可得切線，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再結合M點的坐標即可明確在拋物線上；（Ⅲ）由題意可得. 設，則.結合均值不等式即可得到結果.

（Ⅰ）切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（另解：設切線的方程為：

由消去后可得：

∴

∴切線的方程為，即，

同理可得，切線的方程為.

（Ⅱ）因為點既在切線上，也在切線上，

由（1）可得，，故，.

又點的坐標為.

所以點的縱坐標為，

即點的坐標為.故在拋物線上.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，

，所以 .

設，則.

當時，即當時，取最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當天每售出個獲得利潤元，未售出的每個虧損元.根據以往天的資料統(tǒng)計，得到如下需求量表.元日這天，此蛋糕店制作了這款蛋糕個.以（單位：個， ）表示這天的市場需求量. （單位：元）表示這天出售這款蛋糕獲得的利潤.

需求量/個

天數

15

25

30

20

10

（1）當時，若時獲得的利潤為， 時獲得的利潤為，試比較和的大��；

（2）當時，根據上表，從利潤不少于元的天數中，按需求量分層抽樣抽取天，

（ⅰ）求這天中利潤為元的天數；

（ⅱ）再從這天中抽取天做進一步分析，設這天中利潤為元的天數為，求隨機變量的分布列及數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)對一種新品種小麥在一塊試驗田進行試種.從試驗田中抽取株小麥，測量這些小麥的生長指標值，由測量結果得如下頻數分布表：

生長指標值分組

頻數

（1）在相應位置上作出這些數據的頻率分布直方圖；

（2）求這株小麥生長指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）由直方圖可以認為，這種小麥的生長指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數， 近似為樣本方差.

①利用該正態(tài)分布，求；

②若從試驗田中抽取株小麥，記表示這株小麥中生長指標值位于區(qū)間的小麥株數，利用①的結果，求.

附： .

若，則，

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點(異于端點)．

(1)若M為PC的中點，求證：PA∥平面BME；

(2)是否存在點M，使二面角MBED的大小為30°.若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

(1)若f (x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

(2)若a＝0，x0<1，設直線y＝g(x)為函數f (x)的圖象在x＝x0處的切線，求證:f (x)≤g(x).

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f (x)＝ln x＋x2－ax(a為常數).

(1)若x＝1是函數f (x)的一個極值點，求a的值；

(2)當0＜a≤2時，試判斷f (x)的單調性；

(3)若對任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f (x0)＞mln a 恒成立，求實數m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產x（百輛），需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每輛車售價6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.

（1）求出2019年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額成本）

（2）2019年產量為多少（百輛）時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數在內的單調性；

（Ⅱ）若存在正數，對于任意的，不等式恒成立，求正實數的取值范圍.

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