Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期并判斷其奇偶性；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

解：（1）由1+cosx≠0得：x≠2kπ+π，k∈Z，
∴數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠2kπ+π，k∈Z}．
（2）依題意得：f（x）=
=
=
=1-cosx+1
=2-cosx，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（-x）=2-cos（-x）=2-cosx=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（3）由于cosx≠-1，則-1＜cosx≤1，
∴1≤2-cosx＜3，即f（x）∈[1，3），當(dāng)cosx=1，即x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值1，
∴函數(shù)f（x）=2-cosx的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ，2kπ+π）（k∈Z），單調(diào)減區(qū)間為（2kπ-π，2kπ]（k∈Z）．
分析：（1）由1+cosx≠0即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系通過(guò)約分可求得f（x）=2-cosx，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期并判斷其奇偶性；
（3）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）=2-cosx的單調(diào)區(qū)間和最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的定義域，考查其單調(diào)性與最值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得f（x）=2-cosx是關(guān)鍵，屬于中檔題．