設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,短軸長為4,點(diǎn)M(2,
2
)在橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
,求△OAB的面積的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出橢圓方程,確定b的值,代入M的坐標(biāo),即可求得橢圓的方程;
(2)分類討論,設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,及使
OA
OB
,需使x1x2+y1y2=0,表示出三角形的面積,進(jìn)而可得△OAB的面積的取值范圍.
解答:解:(1)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),則b=2
將點(diǎn)M(2,
2
),代入橢圓方程可得
4
a2
+
2
4
=1
,∴a2=8
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1
;
(2)當(dāng)直線L斜率存在時(shí),設(shè)方程為y=kx+m,代入橢圓方程,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0
則△=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0(*),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
m2-8k2
1+2k2

要使
OA
OB
,需使x1x2+y1y2=0,即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0
,所以m2=
8k2+8
3

將它代入(*)式可得k2∈[0,+∞)    
∵O到L的距離為d=
|m|
1+k2

∴S=
1
2
|AB|d=
1
2
1+k2
|x1-x2|•
|m|
1+k2
=
1
2
|m|
|x1-x2|=
8
3
1+
k2
4k4+4k2+1

①當(dāng)k=0時(shí),S=
8
3
;
②當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),S=
8
3
;
③當(dāng)k≠0時(shí),S=
8
3
1+
1
4k2+
1
k2
+4

∵k2∈(0,+∞),∴4k2+
1
k2
∈[4,+∞),∴S∈(
8
3
,2
2
]

綜上,S∈[
8
3
,2
2
]
點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,有難度.
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(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn),且,求△OAB的面積的取值范圍。

 

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2
)在橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
,求△OAB的面積的取值范圍.

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