Question

設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為4，點(diǎn)M（2，

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且

OA

⊥

OB

，求△OAB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，確定b的值，代入M的坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，表示出三角形的面積，進(jìn)而可得△OAB的面積的取值范圍．

解答：解：（1）橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則b=2
將點(diǎn)M（2，

2

），代入橢圓方程可得

4

a2

+

2

4

=1，∴a²=8
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）當(dāng)直線L斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0（*），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，所以m2=

8k2+8

3

①
將它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）    
∵O到L的距離為d=

|m|

1+k2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

1

2

|m||x₁-x₂|=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

①當(dāng)k=0時(shí)，S=

8

3

；
②當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，S=

8

3

；
③當(dāng)k≠0時(shí)，S=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

∵k²∈（0，+∞），∴4k2+

1

k2

∈[4，+∞），∴S∈(

8

3

，2

2

]
綜上，S∈[

8

3

，2

2

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．