已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，a=
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線x-my+1=0與橢圓C相交于A、B兩點．
①若點M（-
7
3
，0），求證：
MA
•
MB
為定值；
②求三角形OAB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）．
分析：（1）通過橢圓的離心率以及a，求出b，即可求解橢圓C的方程；
（2）①點M（-
7
3
，0），設(shè)出A、B兩點坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得x1+x2，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理即可求得
MA
•
MB
為定值．
②利用弦長公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面積利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最大值．
解答：解：（1）因為已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，a=
5
．
所以c=ae=
30
3
，所以b=
(
5
)2-(
30
3
)2
=
5
3
，
所以橢圓方程為：
x2
5
+
3y2
5
=1．
（2）①設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）由將y=
1
m
（x+1），代入
x2
5
+
3y2
5
=1中，
得（1+
3
m2
）x2+
6
m2
x+
3
m2
-5=0，
△=
36
m4
-4（
3
m2
+1）（
3
m2
-5）=
48
m2
+20＞0，x1+x2=-
6
3+m2
，x1x2=
3-5m2
3+m2
，
所以
MA
•
MB
=（x1+
7
3
，y1）（x2+
7
3
，y2）=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+y1y2
=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+
1
m2
（x1+1）（x2+1）
=（1+
1
m2
）x1x2+（
7
3
+
1
m2
）（x1+x2）+
49
9
+
1
m2

=（1+
1
m2
）
3-5m2
3+m2
+（
7
3
+
1
m2
）（-
6
3+m2
）+
49
9
+
1
m2
=
4
9
；
②直線與x軸的交點為N，x-my+1=0，|y1-y2|=
1
|m|
|x1-x2|，
S△AOB=
1
2
|ON||y1-y2|=
1
2
×1×
1
|m|
•
(-
6
3+m2
)2-4×
3-5m2
3+m2
=
5m2+12
(3+m2)2
，
令12+5m2=t，則t≥12，m2=
t-12
5

∴S△AOB=
t
(3+
t-12
5
)2
=
25
t+
3
t
+6
，
∵t≥12，t+
3
t
+6是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=12時，S△AOB取得最大值，最大值為
10
9
．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案