Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內有且只有一個根x=，則f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數為

1. A.
   2012
2. B.
   2011
3. C.
   1007
4. D.
   1006

Answer 1

B
分析：由條件推出f（1-x）=f（1+x），進而推出f（x）為偶函數，且f（x）是周期等于2的周期函數，根據f（）=0求出f（）=0，從而得到函數f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數f（x）在每兩個整數之間都有一個零點，從而得到f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數．
解答：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函數f（x）為偶函數．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函數f（x）是周期等于2的周期函數．
由于f（）=0，∴f（-）=0，∴f（）=f（2-）=f（）=0，
故函數f（x）在一個周期[0，2]上有2個零點，且函數f（x）在每兩個整數之間都有一個零點，
f（x）=0在區(qū)間[0，2011]內根的個數為2011，
故選B．
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的奇偶性與周期性的應用，抽象函數的應用，體現(xiàn)了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．