Question

設拋物線過定點A（-1，0），且以直線x=1為準線
（Ⅰ）求拋物線頂點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l與軌跡C交于不同的兩點M，N，且線段MN恰被直線x=-

1

2

平分，設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m，試求m的取值范圍

Answer 1

分析：（Ⅰ）設拋物線的頂點為G，則焦點坐標可得，進而根據(jù)拋物線的定義可知：|AF|=點A到直線x=1的距離進而利用兩點間的距離公式求得x和y的關系式求得拋物線頂點G的軌跡C的方程．
（Ⅱ）因為m是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標，由MN所唯一確定所以，要求m的取值范圍，還應該從直線l與軌C相交入手
設直線l的方程與軌跡C的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的不等式方程，進而根據(jù)線段MN恰被直線x=-

1

2

平分，求得x_M+x_N的表達式，進而求得bk，帶代入到判別式求得k的范圍，下面只需找到m與k的關系，即可求出m的取值范圍．求得MN中點P的坐標，把x=-

1

2

代入即可求得y₀的表達式，將P點坐標代入直線方程求得k和m的關系式，進而根據(jù)m的范圍求得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線的頂點為G（x，y），則其焦點為F（2x-1，y）由拋物線的定義可知：|AF|=點A到直線x=1的距離為2，
所以，

4x2+y2

=2
所以，拋物線頂點G的軌跡C的方程為x²+

y2

4

=1（x≠1）
（Ⅱ）顯然，直線l與坐標軸不可能平行，所以，設直線l的方程為y=-

1

k

x+b，
代入橢圓方程得：(

4k2+1

k2

)x²-

2bx

k

+b²-4=0
由于l與軌跡C交于不同的兩點M，N，所以，△=

4b 2

k2

-4（

4k2+1

k2

）（b²-4）＞0，即4k²-k²b²+1＞0（k≠0）（*）
又線段MN恰被直線x=-

1

2

平分，所以，x_M+x_N=

2bk

4k2+1

=2×（-

1

2

）
所以bk=

4k2+1

-2

，代入（*）可解得：-

3

2

＜k＜

3

2

（k≠0）
由于y=kx+m為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點P（-

1

2

，y₀）
在y=-

1

k

x+b，中，令x=-

1

2

，可解得：y₀=-

1

k

+b=-2k

將點P（-

1

2

-2k）代入y=kx+m，可得：m=-

3

2

k
所以-

3 3

4

m＜

3 3

4

，m≠0

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．