Question

已知向量

m

=(sin2A，cos2A)，

n

=(-1，1)，

m

•

n

=-1．
（1）求向量

m

與

n

的夾角；
（2）若角A是△ABC的最大內(nèi)角且所對(duì)的邊長(zhǎng)a=2，sinBsinC=cos2

A

2

．求角B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)b，c．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(sin2A，cos2A)，

n

=(-1，1)，

m

•

n

=-1．代入向量夾角公式，即可求出向量

m

與

n

的夾角；
（2）由

m

•

n

=-sin2A+cos2A=-1，結(jié)合角A是△ABC的最大內(nèi)角，我們易確定出A的大小，再由a=2，sinBsinC=cos2

A

2

．結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式，易求出三角形其它兩個(gè)角的大小及兩邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)向量

m

與

n

的夾角為θ，θ∈[0，π]
∴cosθ=

m • n

| m || n |

=

-1

1• 2

=-

2

2

∴θ=

3

4

π
（2）

m

•

n

=-sin2A+cos2A=-1
∴sin2A-cos2A=

2

sin(2A-

π

4

）=1
∴sin（2A-

π

4

)=

2

2

=

2

2

∵A是△ABC的最大內(nèi)角
∴3A≥A+B+C=π
∴

π

3

≤A＜π
∴

5

12

π≤2A-

π

4

＜

7

4

π
∴2A-

π

4

=

3

4

π
∴A=

π

2

sinBsinC=cos²

A

2

=cos2

π

4

=

1

2

∴2sinBsin（

π

2

-B）=1
∴2sinBcosB=sin2B=1
∵0＜B＜

π

2

∴0＜2B＜π
∴2B=

π

2

∴B=

π

4

∴C=

π

4

∵A=

π

2

且所對(duì)的邊長(zhǎng)a=2
∴b=c=

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的值域，二倍角公式，解三角形，其中根據(jù)已知條件，減小未知元素的個(gè)數(shù)，（如本題中，根據(jù)已知條件都與A有關(guān)，先確定A的大�。�，是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．