橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線
x2
b2
-
y2
c2
=1有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P為兩曲線的一個交點，且PF1⊥PF2，則兩曲線的離心率之積是
2
3
3
2
3
3
．
分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2m，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2b，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，b的等式，從而可得到結(jié)論．
解答：解：由題意設(shè)焦距為2m，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2b，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2b  ①
由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a  ②
又PF1⊥PF2，故|PF1|2+|PF2|2=4m2   ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2b2④
∴a2+b2=2m2，
∵a2-b2=m2，
∴a2=
3
2
m2，b2=
1
2
m2
∴橢圓的離心率為
m
a
=
6
3
，雙曲線的離心率為
m
b
=
2

∴兩曲線的離心率之積是
m
a
×
m
b
=
m2
ab
=
2
3
3

故答案為：
2
3
3
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點三角形中用勾弦定理建立三個方程聯(lián)立求橢圓離心率e1與雙曲線心率e2滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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