Question

【題目】已知函數（為實數， 為自然對數的底數），曲線在處的切線與直線平行.

（1）求實數的值，并判斷函數在區(qū)間內的零點個數；

（2）證明：當時， .

Answer 1

【答案】（1），沒有零點;（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）先借助導數的幾何意義建立方程求出的值，再運用導數與函數的單調性之間的關系分析求解；（2）借助題設先將不等式進行等價轉化，再運用導數知識進行分析推證：

（1），由題設，可知曲線在處的切線的斜率，解得，

∴，

∴當時， ，

∴在區(qū)間內為增函數，

又，∴在區(qū)間內沒有零點.

（2）當時， 等價于，記，

則，當時， ，

∴當時， 在區(qū)間內單調遞增，

∴，即，兩邊取自然對數，得（），

∴要證明（），只需證明（），

即證當時， ，①

設，則，令，

則，當時， ；當時， .

∴在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，又， ， ，∴，∴存在，使得，

∴當時， ；

當時， ，∴在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，

又，∴，當且僅當時，取等號，即①式成立，

∴.