Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，若數(shù)列{cosa_n}是等比數(shù)列，則其公比為（　�。�

• A、1
• B、-1
• C、±1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

，由積化和差得cos（n-2）d-cosnd=0，再由和差化積得2sin[（n-1）d]sind=0，對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，由此能求出公比q=-1．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵數(shù)列{cosa_n}是等比數(shù)列，
∴

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

，①
∴2cosa₁cos（a₁+nd）=2cos（a₁+d）cos[a₁+（n-1）d]，
積化和差得cos（2a₁+nd）+cosnd=cos（2a₁+nd）+cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化積得2sin[（n-1）d]sind=0，對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，
∴d=π．
由①，公比q=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意積化和差公式與和差化積公式的靈活運(yùn)用．