Question

已知函數(shù)f（x）=x-2lnx-

a

x

+1，g（x）=e^x（2lnx-x）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，從而可得a≥2x-x²恒成立（x＞0）；從而解得．
（Ⅱ）求導(dǎo)g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），結(jié)合（Ⅰ）知，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，從而可得g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，從而求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得x＞0，f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，
由函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)得，
f′（x）≥0，即a≥2x-x²=-（x-1）²+1（x＞0）；
因?yàn)?（x-1）²+1≤1（當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)），
所以a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），
由（Ⅰ）得a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，
且f（x）在定義域上是增函數(shù)及f（1）=0，
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0．
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故x=1時(shí)，g（x）取得最大值g（1）=-e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題．