(1)解:∵y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
x
2,∴y′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/223.png)
,y′|
x=n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1960.png)
,
∴點B
n(n,b
n)作拋物線y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
x2的切線方程為:y-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29550.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1960.png)
(x-n),
令y=0,則x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1960.png)
,即a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1960.png)
;(3分)
∵點A
n,B
n,C
n構(gòu)成以點B
n為頂點的等腰三角形,
∴a
n+c
n=2n,∴c
n=2n-a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/42013.png)
(5分)
(2)解:若等腰三角形A
nB
nC
n為直角三角形,則|A
nC
n|=2b
n?
∴n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/147335.png)
,∴n=2,
∴存在n=2,使等腰三角形A
2B
2C
2為直角三角形 (9分)
(3)證明:∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537898.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537899.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537900.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
)(11分)
∴S
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
)<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
又1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
隨n的增大而增大,
∴當n=1時,S
n的最小值為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/35892.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
≤S
n<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(14分)
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù),求得點B
n(n,b
n)作拋物線y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
x2的切線方程,令y=0,可得a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1960.png)
,根據(jù)點A
n,B
n,C
n構(gòu)成以點B
n為頂點的等腰三角形,可得a
n+c
n=2n,由此可求數(shù)列{a
n},{c
n}的通項公式;
(2)若等腰三角形A
nB
nC
n為直角三角形,則|A
nC
n|=2b
n,由此可知存在n=2,使等腰三角形A
2B
2C
2為直角三角形;
(3)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537898.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537899.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537900.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
),從而可求S
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/829.png)
),進而可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
≤S
n<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查裂項法求數(shù)列的和,考查不等式的證明,考查數(shù)列與解析幾何的綜合,屬于中檔題.