Question

已知直線x＋2y－4＝0與拋物線y²＝4x相交于A、B兩點(diǎn)．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試在拋物線的上求一點(diǎn)P，使△ABP面積最大．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如圖所示，|AB|是定值，△PAB的面積最大．只需P到AB的距離最大，即只需點(diǎn)P是拋物線上平行于AB的切線的切點(diǎn)．設(shè)P(x，y)，由圖知點(diǎn)P在x軸下方的圖象上，所以．所以＝． 　　因?yàn)閗AB＝，所以，x＝4． 　　又y2＝4x(y＜0)時(shí)，y＝－4，所以P(4，－4)． 　　解法二：設(shè)P()．因?yàn)閨AB|為定值，要使△PAB的面積最大，只需P到直線AB：x＋2y－4＝0的距離最大． 　　設(shè)距離為d，則 　　d＝， 　　y0∈()． 　　當(dāng)y0＝－4時(shí)，d最大． 　　此時(shí)△PAB的面積最大，所以P(4，－4)． 　　思路分析：依題意|AB|為定值，只要P點(diǎn)到AB的距離最大，S△ABP就最大，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線的上求一點(diǎn)P到直線AB的距離最大．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知P為拋物線上與AB平行的切線的切點(diǎn)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可，也可用解析幾何知識(shí)求解．

提示：

解法一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；解法二是用函數(shù)的方法求P點(diǎn)的坐標(biāo)，注意配方法的運(yùn)用．