Question

設a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）試證：對任意a，f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）是否存在a，使f（x）為奇函數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）運用函數(shù)的單調性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號和下結論；
（2）運用函數(shù)的奇偶性的定義，即可解出a，進而說明存在．

解答： （1）證明：設m，n∈R，且m＜n，則
f（m）-f（n）=a-

2

2m+1

-（a-

2

2n+1

）=

2(2m-2n)

(2m+1)(2n+1)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，又2^m＞0，2ⁿ＞0，則f（m）-f（n）＜0，
所以，對任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）解：假設存在a，使f（x）為奇函數(shù)．
則f（-x）+f（x）=0，即有a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即2a=

2•2x

1+2x

+

2

1+2x

=2，解得，a=1．
則存在a=1，使f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷與證明，注意運用定義，考查運算能力，屬于基礎題．