Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₀₉的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，所以利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出b=1，所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式可以具體，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇求和方法即可求解．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²+bx求導(dǎo)得：f′（x）=2x+b，
由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），∴數(shù)列 的通項(xiàng)為 ==，
所以 的前n項(xiàng)的和即為T_n，
則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：=1-  
所以數(shù)列的前2009項(xiàng)的和為：T₂₀₀₉=1-=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及方程的思想，還考查了利用利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法．