Question

【題目】如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）

A.πB.πC.πD.3π

Answer 1

【答案】A

【解析】

取線段BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS，由題意得BC⊥平面ADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由此能求出球O的表面積．

解：取線段BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，

由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，

∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，

由題意得BC⊥平面ADS，

分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F，

在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F分別作直線垂直于AD，SD，

兩條直線的交點(diǎn)即球心O，

連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，

由題意知BD，AD，DE，AE，

連結(jié)OD，在Rt△ODE中，，OEDE，

∴OA2＝OE2+AE2，

∴球O的表面積為S＝4πR2．

故選：A．