Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，-），傾斜角為α的直線l與圓x²+y²=25相交于B、C兩點(diǎn).

（1）求弦BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)A恰為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線BC的方程；

（3）當(dāng)|BC|=8時(shí)，求直線BC的方程；

（4）當(dāng)α變化時(shí)，求動(dòng)弦BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解：取AP=t為參數(shù)(P為l上的動(dòng)點(diǎn))，?

則l的參數(shù)方程為

代入x²+y²=25,整理，得t²-3(2cosα+sinα)t-=0.?

∵Δ=9(2cosα+sinα)²+55＞0恒成立，

∴方程必有兩相異實(shí)根t₁,t₂,且t₁+t₂=3(2cosα+sinα),t₁·t₂=-.

(1)|BC|=|t₁-t₂|=

(2)∵A為BC中點(diǎn)，∴t₁+t₂=0,?

即2cosα+sinα=0.∴tanα=-2.?

故直線BC的方程為y+=-2(x+3),?

即4x+2y+15=0.?

(3)∵|BC|==8,?

∴(2cosα+sinα)²=1.∴cosα=0或tanα=-.?

∴直線BC的方程是x=-3或3x+4y+15=0.?

(4)∵BC的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)是(2cosα+sinα),?

∴點(diǎn)M的軌跡方程為

(0≤α≤π).?

∴?

∴(x+)²+(y+)²=4516,?

即點(diǎn)M的軌跡是以（-，-）為圓心，半徑為的圓.