Question

13．已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，點M為PC中點，過A、M的平面α與此四棱錐的面相交，交線圍成一個四邊形，且平面α⊥平面PBC．
（1）在圖中畫出這個四邊形（不必說出畫法和理由）；
（2）求平面α與平面ABM所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中點N，連接AN，DM，MN，則MN∥AD，由公理2的推論可得平面α；
（2）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標系，由已知求得所用點的坐標，進一步求得平面α與平面ABM的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面α與平面ABM所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）取PB中點N，連接AN，DM，MN，
則MN∥AD，MN與AD確定平面α；
（2）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標系，
∵PA=AB=2，AD=1，點M為PC中點，N為PB中點，
∴$A（0，0，0），M（\frac{1}{2}，1，1），P（0，0，2），B（0，2，0），N（0，1，1）$，
$\overrightarrow{AM}=（\frac{1}{2}，1，1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，
設(shè)平面AMB的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow n=（2，0，-1）$．
平面α的法向量$\overrightarrow{PB}=（0，2，-2）$，
∴平面α與平面AMB所成二面角的余弦值$cosθ=\frac{{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{PB}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，訓(xùn)練了利用平面法向量求二面角的平面角，是中檔題．