Question

已知f（x）是三次函數(shù)，g（x）是一次函數(shù)，且f（x）-

1

2

g（x）=-x³+2x²+3x+7，f（x）在x=1處有極值2，求f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：三次函數(shù)f（x）=x³+2x²+cx+d在x=1時(shí)取極值2，說(shuō)明f′（1）=0及f（1）=2，求出c，d值，即可求出f（x）的解析式，在求出導(dǎo)數(shù)，分別令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，解出不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：由于f（x）是三次函數(shù)，g（x）是一次函數(shù)，且f（x）-

1

2

g（x）=-x³+2x²+3x+7，
則可設(shè)f（x）=-x³+2x²+cx+d，
故有 f′（x）=-3x²+4x+c，
由題意知f′（1）=0，則-3+4+c=0，∴c=-1  
 又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x³+2x²-x+2   
則 f′（x）=-3x²+4x-1，
由f′（x）＞0得到

1

3

＜x＜1；
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，

1

3

）∪（1，+∞） 
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

3

，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，

1

3

）及（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，著重考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系及應(yīng)用，屬于中檔題．