Question

某種汽車購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增．
（Ⅰ）設(shè)使用n年該車的總費(fèi)用（包括購(gòu)車費(fèi)用）為f（n），試寫出f（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即該車使用多少年平均費(fèi)用最少）．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …（3分）
=…（5分）
=0.1n²+n+14.4…（7分）
（Ⅱ）設(shè)該車的年平均費(fèi)用為S萬元，則有…（9分）
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
僅當(dāng)，即n=12時(shí)，等號(hào)成立．…（13分）
故：汽車使用12年報(bào)廢為宜．…（14分）
分析：（I）由已知中某種汽車購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到f（n）的表達(dá)式；
（II）由（I）中使用n年該車的總費(fèi)用，我們可以得到n年平均費(fèi)用表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，我們易計(jì)算出平均費(fèi)用最小時(shí)的n值，進(jìn)而得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得到f（n）的表達(dá)式，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的最小值點(diǎn)．