Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BB₁，B₁D₁中點(diǎn)，求證：EF⊥DA₁．

Answer 1

分析：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，求出

DA1

，

EF

的坐標(biāo)，只需證明

DA1

•

EF

=0即可．

解答：解：以

DA

，

DC

，

DD1

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
設(shè)正方體棱長為1，則A₁（1，0，1），D（0，0，0），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，1），E（1，1，

1

2

），
所以

DA1

=（1，0，1），

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

），
因?yàn)?span id="dqxiilx" class="MathJye">

DA1

•

EF

=（1，0，1）•（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

）=-

1

2

+0+

1

2

=0，
所以

DA1

⊥

EF

，即EF⊥DA₁．

點(diǎn)評：本題考查空間兩直線間的垂直關(guān)系，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．