已知拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線(xiàn)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的不同兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)分別為l1，l2，且l1⊥l2，l1與l2相交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求點(diǎn)D的軌跡方程；
（Ⅱ）假設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
2
，-1），問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與l1，l2都相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（I）設(shè)A(x1，
x
2
1
2p
)，B(x2，
x
2
2
2p
)．由拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0），可得y′=
x
p
．可得拋物線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)l1，l2的斜率．由于l1⊥l2，可得x1x2=-p2．可得拋物線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)方程．化簡(jiǎn)為：
x
2
1
-2xx1+2py=0，
x
2
2
-2xx2+2py=0．由于x1≠x2，可得x1，x2是一元二次方程t2-2xt+2py=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．即可得出．
（II）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
2
，-1），可得p=2，拋物線(xiàn)的方程為：x2=4y．
假設(shè)存在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與l1，l2都相切的圓．由（I）可得x1，x2是一元二次方程t2-3t-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
可得A(-1，
1
4
)，B（4，4）．可得過(guò)點(diǎn)A與l1垂直的直線(xiàn)方程，過(guò)點(diǎn)B與l2垂直的直線(xiàn)方程，聯(lián)立即可得出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得出半徑．
解答： 解：（I）設(shè)A(x1，
x
2
1
2p
)，B(x2，
x
2
2
2p
)．
由拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0），可得y′=
x
p
．
則拋物線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)l1，l2的斜率分別為
x1
p
，
x2
p
．
∵l1⊥l2，∴
x1
p
×
x2
p
=-1，解得x1x2=-p2．
∴拋物線(xiàn)C在A，B處的切線(xiàn)分別為l1：y-
x
2
1
2p
=
x1
p
(x-x1)，
l2：y-
x
2
2
2p
=
x2
p
(x-x2)，．
化簡(jiǎn)為：
x
2
1
-2xx1+2py=0，
x
2
2
-2xx2+2py=0．
∵x1≠x2，∴x1，x2是一元二次方程t2-2xt+2py=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴x1x2=2py，
∴2py=-p2，解得y=-
p
2
．
∴點(diǎn)D的軌跡方程為：y=-
p
2
．
（2）∵D點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
2
，-1），∴-
p
2
=-1，解得p=2．
∴拋物線(xiàn)的方程為：x2=4y．
假設(shè)存在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且與l1，l2都相切的圓．
則x1，x2是一元二次方程t2-3t-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
取x1=-1，x2=4，∴A(-1，
1
4
)，B（4，4）．
過(guò)點(diǎn)A與l1垂直的直線(xiàn)方程為：y-
1
4
=2(x+1)，化為8x-4y+9=0．
過(guò)點(diǎn)B與l2垂直的直線(xiàn)方程為：y-4=-
1
2
（x-4），化為x+2y-12=0．
聯(lián)立
8x-4y+9=0
x+2y-12=0
，解得
x=
3
2
y=
21
4
，
∴所求的圓的圓心為M(
3
2
，
21
4
)，半徑r2=|MA|2=(
3
2
+1)2+(
21
4
-
1
4
)2=
125
4
．
故所求的圓的方程為(x-
3
2
)2+(y-
21
4
)2=
125
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)的斜率、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若集合A={x||x|≤1，x∈R}，集合B為函數(shù)f（x）=log2（3x+1）的值域，則A∩B=（　�。�
A、{x|0＜x≤1}
B、{x|x≥0}
C、{x|0≤x≤1}
D、∅

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（Ⅰ）若對(duì)任意x≥1，不等式f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當(dāng)a＞-
e
2
時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）+b＜0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總有解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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設(shè)不等式組
x≤4
y≥0
y≤nx(x∈N*)
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)）．
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（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，試證明：對(duì)任意n∈N*恒有
S1
22S2
+
S2
32S3
+…+
Sn
(n+1)2Sn+1
＜
5
12
成立．

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已知集合A={x|-1＜x＜1}，集合B={x|m-3＜x＜2m-1}．
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（2）若B⊆A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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（1）空位不相鄰的坐法有多少種；
（2）3個(gè)空位只有2個(gè)相鄰的坐法有多少種；
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（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
1
anan+1
，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意n∈N*，Tn＞
m
32
都成立，求整數(shù)m的最大值．

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