Question

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)P，Q．若點(diǎn)P是線段F₁Q的中點(diǎn)，且QF₁⊥QF₂，則此雙曲線的離心率等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），兩條漸近線方程為y=-，y=，由過(guò)F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)P是線段F₁Q的中點(diǎn)，且QF₁⊥QF₂，知PF₁⊥OP，所以過(guò)F₁的直線PQ的方程為：y=，解方程組，得P（-，），所以|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，再由余弦定理，能求出此雙曲線的離心率．
解答：解：∵雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為y=-，y=，
∵過(guò)F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)P是線段F₁Q的中點(diǎn)，且QF₁⊥QF₂，
∴PF₁⊥OP，
∴過(guò)F₁的直線PQ的斜率，
∴過(guò)F₁的直線PQ的方程為：y=，
解方程組，得P（-，），
∴|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，
∵tan∠QOF₂=，∴cos∠QOF₂=，
由余弦定理，得cos∠QOF₂==1-=，
∴1-=，即e²-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意余弦定理的合理運(yùn)用．