Question

（2013•浦東新區(qū)二模）已知直角△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以a為首項(xiàng)的等差數(shù)列{a_n }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S₁，S₂，S₃，…S_n，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{X_n}滿足

5

Xn=(

c

a

)n-(-

a

c

)n（n∈N⁺），證明：數(shù)列{

Xn

}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且X_n是正整數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的前2013項(xiàng)的和求出a+b的值，利用勾股定理寫出c²=a²+b²，然后利用基本不等式求c的最小值；
（2）設(shè)出三角形三邊的公差，由勾股定理求得三邊與公差的關(guān)系，把面積用公差表示，則S_n可求，把S_n代入
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n后，先裂項(xiàng)后利用等差數(shù)列求和公式求和，得到T_n后結(jié)合二項(xiàng)展開式的系數(shù)和取值驗(yàn)證求得滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）由a，b，c成等比數(shù)列，結(jié)合直角三角形中邊的關(guān)系求出

c

a

，代入

5

Xn=(

c

a

)n-(-

a

c

)n后整理，進(jìn)一步得到

5

Xn+

5

Xn+1=

5

Xn+2，由此可證數(shù)列{

Xn

}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且X_n是正整數(shù)．

解答：（1）解：{a_n}是等差數(shù)列，∴

2013(a+b)

2

=2013，即a+b=2．
所以c2=a2+b2=

2(a2+b2)

2

≥

(a+b)2

2

=

22

2

=2，
所以c的最小值為

2

；
（2）解：設(shè)a，b，c的公差為d（d∈Z），則a²+（a+d）²=（a+2d）²
∴a=3d．
設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為3d，4d，5d，面積Sd=

1

2

×3d×4d=6d2(d∈Z)，則Sn=6n2，
T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+S_2n
=6[-1²+2²-3²+4²-…+（2n）²]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n²+6n．
由T2n＞6•2n+1得n2+

1

2

n＞2n，
當(dāng)n≥5時(shí)，2n=1+n+

n(n-1)

2

+…≥2+2n+(n2-n)＞n2+

1

2

n，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=2，3，4時(shí)，n2+

1

2

n＞2n，當(dāng)n=1時(shí)，n2+

1

2

n＜2n．
綜上所述，滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值為2、3、4．
（3）證明：因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac．
由于a，b，c為直角三角形的三邊長(zhǎng)，知a²+ac=c²，∴

c

a

=

1+ 5

2

，
又

5

Xn=(

c

a

)n-(-

a

c

)n(n∈N*)，得

5

Xn=(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n，
于是

5

Xn+

5

Xn+1=(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n+(

1+ 5

2

)n+1-(

1- 5

2

)n+1
=(

1+ 5

2

)n+2-(

1- 5

2

)n+2=

5

Xn+2．
∴X_n+X_n+1=X_n+2，則有(

Xn

)2+(

Xn+1

)2=(

Xn+2

)2．
故數(shù)列{

Xn

}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形．
因?yàn)?BR>X1=

5

5

[(

5 +1

2

)1-(

1- 5

2

)1]=1，
X2=

5

5

[(

5 +1

2

)2-(

1- 5

2

)2]=1，
⇒X3=X1+X2=2∈N*，
由X_n+X_n+1=X_n+2，同理可得Xn∈N*，Xn+1∈N*⇒X_n+2∈N^*，
故對(duì)于任意的n∈N^*都有X_n是正整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題以直角三角形邊的關(guān)系為載體，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)比較不等式的大小，此題綜合性強(qiáng)，難度較大．