Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），令b_n=

an

2n

．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），可得n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2^n-1（n∈N^*），兩式相減，結合b_n=

an

2n

，即可證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）確定a_n=（n+1）•2^n-1，再利用錯位相減法，可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：因為S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），所以n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2^n-1（n∈N^*），
所以a_n=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1），
即a_n=2a_n-1-2^n-1．
由a₁=2a₁-2得a₁=2．
由b_n=

an

2n

得b₁=1．
當n≥2時，b_n-b_n-1=

1

2

，
所以{b_n}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知，b_n=

n+1

2

，即

an

2n

=

n+1

2

，
所以{a_n}的通項公式為a_n=（n+1）•2^n-1．
所以S_n=2•2⁰+3•2¹+…+（n+1）•2^n-1，①
∴2S_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，②
由①-②得-S_n=2•2⁰⁺2¹+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項是關鍵．