Question

如圖，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD．若雙曲線以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形的周長(zhǎng)最大時(shí)，雙曲線的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，則可表示出BC，EB，CD，進(jìn)而可求得梯形的周長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得周長(zhǎng)的最大值時(shí)θ的值，則AC和BC可求，根據(jù)雙曲線的定義求得雙曲線的長(zhǎng)軸，即可求得雙曲線的離心率．
解答：解：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
∴CD=2R-4Rsin²θ，
∴梯形的周長(zhǎng)l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ=-4R（sinθ-）²+5R．
當(dāng)sinθ=，即θ=30°時(shí)，l有最大值5R，
這時(shí)，BC=R，AC=R，a=（AC-BC）=（-1）R，
∴e==+1．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，雙曲線的定義，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．