Question

已知f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定義域上恒成立，建立等價(jià)條件，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則a^x-1≠0，即x≠0，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³=

ax+1

2(ax-1)

•x3，
∴f（-x）=

a-x+1

2(a-x-1)

•(-x)3=-

1+ax

2(1-ax)

•(-x3)=

ax+1

2(ax-1)

•x3=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（3）∵f（x）是偶函數(shù)；
∴f（x）＞0在定義域上恒成立，
則只需要當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=

ax+1

2(ax-1)

•x3＞0即可，
∴a^x-1＞0，
即a^x＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范圍是a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．