Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面ABCD的中心，E為CC₁中點．求證：A₁O⊥OE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OE．

解答：
證明：連接EO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠EOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠EOC，
則∠A₁OA+∠EOC=90°．
∴A₁O⊥OE．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，屬于基本知識的考查．