Question

1．已知拋物線y²=2px，（p＞0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱，則p的取值范圍是0＜p＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳，B在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又AB的中點(diǎn)在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有y₁²=2px₁①，y₂²=2px₂②
①-②得整理得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，所以k_AB=1，即$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1．
所以y₁+y₂=2p．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y₀=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
則M（1-p，p）．
因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以y₀²-2px₀＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜$\frac{2}{3}$．
所以p的取值范圍是0＜p＜$\frac{2}{3}$．
故答案為：0＜p＜$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式，是中檔題．