Question

已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)b=0時(shí)，若f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿(mǎn)足下列條件的所有整數(shù)對(duì)（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）對(duì)滿(mǎn)足（II）中的條件的整數(shù)對(duì)（a，b），試構(gòu)造一個(gè)定義在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函數(shù)h（x），使h（x+2）=h（x），且當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，h（x）=f（x）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，符合題意；
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，
必須滿(mǎn)足
∴0＜a≤1．綜上所述，a的取值范圍是[0，1]
（2）若a=0，，則f（x）無(wú)最大值，
故a≠0，∴f（x）為二次函數(shù)，
要使f（x）有最大值，必須滿(mǎn)足即a＜0且，
此時(shí)，時(shí)，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時(shí)，x₀=a，
依題意，有，則，
∵a＜0且，∴，得a=-1，
此時(shí)b=-1或b=3．
∴滿(mǎn)足條件的整數(shù)對(duì)（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
（3）當(dāng)整數(shù)對(duì)是（-1，-1），（-1，3）時(shí)，f（x）=-x²-2x∵h(yuǎn)（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，h（x）=f（x），構(gòu)造h（x）如下：當(dāng)x∈（2k-2，2k），k∈Z，則，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．
分析：（1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²-4x，討論a是否為0，然后根據(jù)f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減建立關(guān)系式，解之即可求出a的取值范圍；
（2）若a=0，，則f（x）無(wú)最大值，故a≠0，則f（x）為二次函數(shù)，根據(jù)f（x）有最大值，建立關(guān)系式，然后求出f（x）有最大值時(shí)的自變量x₀，最后根據(jù)g（x）取最小值時(shí)，x₀=a，根據(jù)條件建立等式，求出滿(mǎn)足條件的a與b，從而求出所求；
（3）當(dāng)整數(shù)對(duì)是（-1，-1），（-1，3）時(shí)，f（x）=-x²-2x根據(jù)h（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，h（x）=f（x），構(gòu)造h（x）如下：當(dāng)x∈（2k-2，2k），k∈Z，則，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k）即可．
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸建立關(guān)系式是解決二次函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵，同時(shí)考查了函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值及其幾何意義，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是一道綜合題．