Question

4．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為10的正方形，若PD⊥平面ABCD，PD=AB．
（I）求證：AC⊥PB．
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC，BD，交于點O，推導出AC⊥BD，AC⊥PD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥PB．
（2）過點A作AE⊥PB于E，連結EO，則∠AEO為二面角A-PB-D的平面角，由此能求出二面角A-PB-D的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連結AC，BD，交于點O，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB
解：（2）過點A作AE⊥PB于E，連結EO，
由（1）可知AC⊥PB，∴PB⊥平面AEO，
∴∠AEO為二面角A-PB-D的平面角．
在Rt△PAB中，$AE=\frac{{10\sqrt{6}}}{3}$，
而由（1）知AC⊥平面PDB，AC⊥OE，
∴$sin∠AEO=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠AEO=60°，
故二面角A-PB-D為60°．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．