Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn =

3

2

(an -1)，n∈N+．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由s_n得到s_n+1，兩者相減得到an+1 =

3

2

(an+1 -an )即a_n+1=3a_n，得到公比為3，令n=1，求出首項(xiàng)，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃a_n=n，所以列舉出數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n，利用錯(cuò)位相減法得到其之和．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="tbedfpv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Sn =

3

2

(an -1)，n∈N+，所以Sn+1  =

3

2

(an+1  -1)．
兩式相減，得Sn+1 -Sn =

3

2

(an+1 -an )；，即an+1 =

3

2

(an+1 -an )
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．
又s1 =

2

3

(a1 -1)；，即a1 =

3

2

(a1 -1)；，所以a₁=3．
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．從而{a_n}的通項(xiàng)公式是{a_n=3ⁿ，n∈N₊；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃a_n=n，設(shè)數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
則T_n=1×3+2×3²+3×3³++n•3ⁿ，3T_n
=1×3²+2×3³+3×3⁴++（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得-2T_n=1×3+1×3²+1×3³++1×3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1，
所以Tn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和的方法，應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問(wèn)題的能力．