Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，a＞b，設(shè)異面直線(xiàn)AC₁與BD所成角為θ．求證：cosθ=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

AC1

=（-b，a，c），

DB

=（b，a，0），由此能證明cosθ=

| AC1 ， DB |

| AC1 |•| BD |

=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

解答： 證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA₁=c，AB=a，AD=b，a＞b，
∴A（b，0，0），C₁（0，a，c），B（b，a，0），D（0，0，0），

AC1

=（-b，a，c），

DB

=（b，a，0），
∵異面直線(xiàn)AC₁與BD所成角為θ，
∴cosθ=

| AC1 ， DB |

| AC1 |•| BD |

=

-b2+a2

a2+b2+c2 • a2+b2

∴cosθ=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線(xiàn)角的能力，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．