Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(－1，－1)，c為橢圓的半焦距，且c＝b．過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l₁的斜率為－1，求△PMN的面積；
（3）若線段MN的中點(diǎn)在x軸上，求直線MN的方程．

Answer 1

（1）;（2）2;（3）或．  

試題分析：（1）根據(jù)題意可得，且，加之的關(guān)系，可求得; （2）由于直線的斜率已確定，則可由其與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，因兩直線垂直，故當(dāng)時(shí)，用代替，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，得，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出： ，即可求出的面積;（3）觀察本題條件可用設(shè)而不求的方法處理此題，即設(shè)出點(diǎn)，兩點(diǎn)均在橢圓上得：，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征是一致的，則將兩式相減得， 由題中條件線段的中點(diǎn)在x軸上，所以，從而可得，此式表明兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系：可能相等;可能互為相反數(shù)，分兩種情況分類討論：當(dāng)時(shí)，再利用，可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步確定出兩點(diǎn)的坐標(biāo)或，即可求出直線的方程為;同理當(dāng)，求出直線的方程為．
試題解析：（1）由條件得，且，所以，解得．
所以橢圓方程為：．                         3分
（2）設(shè)方程為，
聯(lián)立,消去得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045006833411.png" style="vertical-align:middle;" />，解得．5分
當(dāng)時(shí)，用代替，得． 7分
將代入，得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045007004434.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以的面積為．             9分
（3）設(shè)，則
兩式相減得，
因?yàn)榫�段的中點(diǎn)在x軸上，所以，從而可得．12分
若，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045006490630.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，得．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045007238671.png" style="vertical-align:middle;" />，所以解得，所以或．
所以直線的方程為．                       14分
若，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045006490630.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，得．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045007238671.png" style="vertical-align:middle;" />，所以解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足條件，不滿足條件．
綜上，直線的方程為或．           16分