已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+6bx在x=1處有極大值7.
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
分析:(1)對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)=2x3-ax2+6bx在x=1處有極大值7,可得f′(-1)=0,f(-1)=7,從而求出a和b,求出f(x)的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性;
(2)由(1)已知f(x)的單調(diào)區(qū)間,令f′(x)=0,求出極值點(diǎn),得到極大值和極小值,可以利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題;
解答:解:(1)f′(x)=6x2-2ax+6b,…(1分)
f′(-1)=0
f(-1)=7
   …(2分)⇒
6+2a+6b=0
-2-a-6b=7

a=3
b=-2
,…(3分)
∴f(x)=2x3-3x2-12x.     …(4分)
又∵f′(x)=6x2-6x-12,由f′(x)>0得6x2-6x-12>0解得x<-1或x>2(5分)
由f′(x)<0得6x2-6x-12<0,解得-1<x<2 …(6分)
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1),(2,+∞),…(7分)
f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-1,2).  …(8分)
(2)f′(x)=0得x=-1和x=2
則f(x)在[-3,3]的變化情況如下表
x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) -45 7 -20 -9
由表知f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為7,-45     …(13分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,也考查極大值和極小值與最大值和最小值的區(qū)別,是一道中檔題;
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