如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).

(1)試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),求二面角C1EFA的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

剖析:(1)先假設(shè)D1E⊥面AB1F,再用三垂線定理驗(yàn)證D1E⊥AF,即可得出結(jié)論.

     (2)由三垂線定理作出二面角,再由解直角三角形知識(shí)求出角.

     (3)本題也可用空間向量知識(shí)求解.

解法一:(1)如圖,連結(jié)A1B,則A1B是D1E在面ABB1A1內(nèi)的射影.

  因?yàn)锳B1⊥A1B,所以D1E⊥AB1.

    于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

    連結(jié)DE,則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影.

    因?yàn)镈1E⊥AFDE⊥AF,又因?yàn)锳BCD是正方形,E是BC的中點(diǎn),

    所以當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí),DE⊥AF,

    即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.

    (2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),由(1)知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),

    又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連結(jié)EF,則EF∥BD.

    連結(jié)AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則CH⊥EF.

    連結(jié)C1H,則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    所以C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1EFC的平面角.

    在Rt△C1CH中,因?yàn)镃1C=1,CH=AC=,所以tan∠C1HC===2.

    所以∠C1HC=arctan2,從而∠AHC1=π-arctan2.

    故二面角C1EFA的大小為π-arctan2.

解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

    (1)設(shè)DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

    所以=(1,-,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

    所以·=1-1=0,即D1E⊥AB1.

    于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF·=0x-=0,即x=.

    故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.

    (2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),F是CD的中點(diǎn).又E是BC的中點(diǎn),連結(jié)EF,則EF∥BD.

    連結(jié)AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則AH⊥EF.連結(jié)C1H,則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    所以C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角.

    因?yàn)镃1(1,1,1)、H(,,0),

所以=(,,1), =(-,-,0).

所以cos∠AHC1===-,

    即∠AHC1=arccos(-)=π-arccos.

    故二面角C1EFA的大小為π-arccos.

講評(píng):本題通過一典型圖形正方體,考查了線面關(guān)系和線線關(guān)系(垂直、平行),又考查了正方體的一些性質(zhì),同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值為
2+
2
2+
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在棱長為1的正方體的面對(duì)角線上存在 

一點(diǎn)使得取得最小值,則此最小值為                                                

A.          B.         C.        D.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆海南瓊海嘉積中學(xué)高一下學(xué)期教學(xué)監(jiān)測(二)理數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:選擇題

如圖所示,在棱長為1的正方體的面對(duì)角線上存在一點(diǎn)使得最短,則的最小值為(    )

A.        B.        C.          D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年浙江省高二上學(xué)期第一次統(tǒng)練試題理科數(shù)學(xué) 題型:填空題

如圖所示,在棱長為1的正方體的面對(duì)角線上存在一點(diǎn)使得取得最小值,則此最小值為              

 

 

 

(第17題圖)

 

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省溫州市八校高一下學(xué)期期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué) 題型:選擇題

如圖所示,在棱長為1的正方體的面

對(duì)角線上存在一點(diǎn)使得取得最小值,則此

最小值為   (     )

A.            B.   C.          D.

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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