Question

已知橢圓中心E在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）以橢圓E上的點P及焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)，將C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|yo|=1，能求出點P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵橢圓中心E在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，
且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
將C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得

1

4

+

9 4

b2

=1，（3分）
解得b²=3，∴橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|yo|=1，（6分）
又∵c=

a2-b2

=1，
∴|F₁F₂|=2，
∴

1

2

×2×|y0|=1（7分）
解得y₀=±1，代入橢圓E的方程解得x₀=±

2 6

3

．（8分）
故點P的坐標(biāo)為：（

2 6

3

，1）或（-

2 6

3

，1）或（

2 6

3

，-1）或（-

2 6

3

，-1）．（10分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的坐標(biāo)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想和合理運(yùn)用．