是否存在實(shí)數(shù)λ,使函數(shù)f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù),而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù)?若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:已知函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的單調(diào)性,運(yùn)用定義可得出λ與所設(shè)的x1、x2的不等關(guān)系式,再根據(jù)變量x1、x2的兩個(gè)范圍,求出λ的范圍,由兩個(gè)已知條件求出λ的兩個(gè)范圍,若有公共部分則λ存在,若無公共部分,則λ不存在.
解:因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).
若x1<x2≤-2,則x12-x22>0,且x12+x22+2>4+4+2=10,所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≤10時(shí),f(x1)-f(x2)>0恒成立,從而f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù).
若-1≤x1<x2<0,則x12-x22>0,且x12+x22+2<1+1+2=4,所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≥4時(shí),f(x1)-f(x2)<0恒成立,從而f(x)在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù).
綜上所述,存在實(shí)數(shù)λ使f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù),而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù),且實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[4,10].
點(diǎn)評:本題是一道探索性命題,是一道求函數(shù)單調(diào)性的逆向問題,定義是解決此類問題的最佳方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文 題型:解答題
(本小題滿分16分:8+8)
給出函數(shù)封閉的定義:若對于定義域D內(nèi)的任一個(gè)自變量,都有函數(shù)值,則稱函數(shù)y=f(x)在 D上封閉。
(1)若定義域判斷下列函數(shù)中哪些在上封閉,并給出推理過程;
(2)若定義域是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在上封閉,若存在,求出值,若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題
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