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18.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1為正方形,側(cè)面BB1C1C為菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C
(1)求證:平面ABB1A1⊥平面BB1C1C;
(2)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

分析 (1)證明AB⊥BB1.AB⊥B1C,推出AB⊥平面BB1C1C,然后證明平面ABB1A1⊥BB1C1C.
(2)設(shè)O是BB1的中點(diǎn),連結(jié)CO,則CO⊥BB1.求出CO,連結(jié)AB1,利用VB1ABC=VCABB1求解三棱柱ABC-A1B1C1的高即可.

解答 (1)證明:由側(cè)面ABB1A1為正方形,知AB⊥BB1
又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,
又AB?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥BB1C1C.
…(5分)
解:(2)設(shè)O是BB1的中點(diǎn),連結(jié)CO,則CO⊥BB1
由(1)知,CO⊥平面ABB1A1,且CO=32BC=32AB=3…(7分)
連結(jié)AB1,則VCABB1=13SABB1•CO=16AB2•CO=233…(9分)
VB1ABC=VCABB1=13×12×2×2×h=233,則h=3
故三棱柱ABC-A1B1C1的高3…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的距離的求法,等體積法的應(yīng)用,直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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