Question

已知P（0，2）已知直線l：y=kx+b與圓C：x²+y²=4相交與A，B兩點，當|PA|•|PB|=4時，試證明點P到直線l的距離為定值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：當|PA|•|PB|=4時，用特殊點法求出點P到直線l的距離，再證明點P到直線l的距離是定值即可．

解答： 解：當|PA|•|PB|=4時，用特殊點法求出點P到直線l的距離為1，如圖所示；
現(xiàn)在證明1是點P（0，2）到直線l：y=kx+b=0的距離的定值；
由點P（0，2）到直線l：y=kx+b=0的距離是1，
∴

|-2+b|

1+k2

=1，
∴（b-2）²=1+k²，
∴k²=b²-4b+3；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l：y=kx+b與圓C：x²+y²=4，消去y，
得x²+（kx+b）²=4
即（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0；
∴x₁+x₂=-

2kb

k2+1

，x₁x₂=

b2-4

k2+1

；
∵|PA|•|PB|=4，∴

x12+(y1-2)2

•

x22+(y2-2)2

=4，
∴（x₁²+y₁²-4y₁+4）（x₂²+y₂²-4y₂+4）=16，
∴（4-4y₁+4）（4-4y₂+4）=16，
∴（2-y₁）（2-y₂）=1，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+3=0；
即（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）+3=0，
k²x₁x₂+（kb-2k）（x₁+x₂）-4b+3=0，
∴k²•

b2-4

k2+1

+（kb-2b）•（-

2kb

k2+1

）-4b+3=0，
化簡得k²=b²-4b+3；
即證點P到直線l的距離為定值，且定值為1．

點評：本題考查了直線與圓的應用問題，考查了定值的應用問題，用特殊點法求出點P到直線l的距離，再證明點P到直線l的距離是定值是關鍵．