設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，|
BC
|=4，|
AB
+
AC
|=|
AB
-
AC
|，則
AM
•(
AB
+
AC
)=（　�。�
A、8B、4C、2D、1
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計算題,平面向量及應(yīng)用
分析：運(yùn)用向量的中點(diǎn)表示，可得
AM
•(
AB
+
AC
)=2
AM
2，再由向量的平方即為模的平方，可得AB⊥AC，結(jié)合直角三角形的斜邊的中線即為斜邊的一半，即可計算得到．
解答： 解：點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，
則有
AM
=
1
2
（
AB
+
AC
），
即有
AB
+
AC
=2
AM
，
則
AM
•(
AB
+
AC
)=2
AM
2，
由于|
AB
+
AC
|=|
AB
-
AC
|，
即（
AB
+
AC
）2=（
AB
-
AC
）2，
AB
2+
AC
2+2
AB
•
AC
=
AB
2+
AC
2-2
AB
•
AC
，
即有
AB
•
AC
=0，
即有AB⊥AC，
由于M為BC的中點(diǎn)，|
BC
|=4，
則|
AM
|=
1
2
|
BC
|=2，
則
AM
•(
AB
+
AC
)=2
AM
2=2×22=8．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和中點(diǎn)的向量表示，同時考查向量垂直的條件，運(yùn)用直角三角形的斜邊的中線即為斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延長線上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C1、E的平面交棱BB1于點(diǎn)F，B1F=2BF．
（1）求證：平面AC1E⊥平面BCC1B1；
（2）求二面角E-AC1-C的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水，M、N分別是AA1與C1D1的中點(diǎn)，由于某種原因，在D、M、N三點(diǎn)處各有一個小洞，為此容器內(nèi)存水最多，問應(yīng)將此容器如何放置？此時水的上表面的形狀怎樣？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a是一個平面，Γ是平面α上的一個圖形，若在平面α上存在一個定點(diǎn)A和一個定角θ（θ∈（0，2π），使得Γ上的任意一點(diǎn)以A為中心順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)角θ，所得到的圖形與原圖形Γ重合，則稱點(diǎn)A為對稱中心，θ為旋轉(zhuǎn)角，Γ為旋轉(zhuǎn)對稱圖形，若以下4個圖形，從左至右依次是正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形，它們都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，則它們的最小旋轉(zhuǎn)角依次為
 
，若Γ是一個正n邊形，則其最小旋轉(zhuǎn)角n可以表示為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
e1
，
e2
是兩個不共線的向量，已知向量
AB
=2
e1
+tanα•
e2
，
CB
=
e1
-
5
4
e2
，
CD
=2
e1
-
e2
，若A，B，D三點(diǎn)共線，則
2sinα-cosα
sinα+cosα
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，|
PA
|=|
BC
|=a且
PA
=
1
2
PQ
，向
PQ
和
BC
的夾角θ取何值，
CP
•
BQ
的值最大？并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（　�。�
A、（2+
5
）π
B、4π
C、（2+2
2
）π
D、6π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知單位向量
e1
、
e2
的夾角為60°，則|2
e1
+3
e2
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：M（xM，yM），N（xN，yN）分別是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象與兩條直線l1：y=m，l2：y=-m（A≥m≥0）的兩個交點(diǎn)，記S=|xN-xM|，則S（m）圖象大致是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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同步練習(xí)冊答案