Question

已知函數(shù)f（x）=

x

4

+ln

x-2

x-4

（1）求函數(shù)f（x）的定義域和極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a²-5a，8-3a]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）的圖象是否為中心對稱圖形？若是請指出對稱中心，并證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；
（2）利用（1）中的增區(qū)間，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）由（1）知函數(shù)f（x）的圖象若是中心對稱圖形，則中心一定在兩極值點(diǎn)的中心（3，

3

4

），設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)，則(6-x，

3

2

-y)是它關(guān)于（3，

3

4

）的對稱點(diǎn)，證明(6-x，

3

2

-y)也在函數(shù)f（x）的圖象上即可．

解答：解：（1）由題意，

x-2

x-4

＞0，解得x＜2或x＞4
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，2）∪（4，+∞），
由f′(x)=

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

=0得：x=0或x=6，所以

x	（-∞，0）	0	（0，2）	（4，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

∴f(x)極大值=f(0)=-ln2，f(x)極小值=f(6)=ln2+

3

2

（2）由（1）知a²-5a＜8-3a≤0或6≤a²-5a＜8-3a，所以

8

3

≤a＜4或-2＜a≤-1
（3）由（1）知函數(shù)f（x）的圖象若是中心對稱圖形，則中心一定在兩極值點(diǎn)的中心（3，

3

4

），下面證明：
設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)，則(6-x，

3

2

-y)是它關(guān)于（3，

3

4

）的對稱點(diǎn)，而f(6-x)=ln

6-x-2

6-x-4

+

6-x

4

=

3

2

-(ln

x-2

x-4

+

x

4

)=

3

2

-y，即(6-x，

3

2

-y)也在函數(shù)f（x）的圖象上．
所以函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形，其中心是（3，

3

4

）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．