Question

已知m，n為正整數(shù)，
（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞-1時，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）對于n≥6，已知（1-

1

n+3

）ⁿ＜

1

2

，求證：

n

k=1

（1-

k

n+3

）ⁿ＜1-（

1

2

）ⁿ．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明，
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，問題于是得以證明．

解答： 證明（Ⅰ）：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)m=1時，原不等式成立；當(dāng)m=2時，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
因為x²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k時，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，則當(dāng)m=k+1時，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，
于是在不等式（1+x）^k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．
即當(dāng)m=k+1時，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立．
（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
于是(1-

m

n+3

)n≤(1-

1

n+3

)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜(

1

2

)m，m=1，2，…，n．
∴

n

k=1

(1-

k

n+3

)n＜

n

k=1

(

1

2

)k=1-(

1

2

)n．

點評：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法，以及不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題．