已知數(shù)列{an} 的前n項和為Sn，且Sn+an=數(shù)學公式．
（1）證明：數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列；
（2）設bn=Sn+數(shù)學公式，Tn=數(shù)學公式，求證：Tn＜2．

證明：（1）當n=1時，
2?a1=，a1-1=
當n≥2時，Sn+an= ①
Sn-1+an-1= ②
①-②得2an-an-1=n+1
∴2an=an-1+（n+1）
即2an-2n=an-1-（n-1），2（an-n）=an-1-（n-1），
即
∴數(shù)列數(shù)列{an-n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an-n=
∴an=n+
∴Sn=-n-=-
∴bn=Sn+=
∴=
∴Tn=2（1-）

=2（1-）＜2．
分析：（1）由題意知當n=1時，2?a1=，a1-1=，n≥2時an=Sn-Sn-1，得2an-an-1=n+1，即可證明結論；
（2）先由（1）求得數(shù)列{bn}的通項公式并整理成bn=，從而，然后利用列項求和求出Tn=2（1-），求出數(shù)列{bn}的前n項和 Tn＜2．
點評：本題考查了等比數(shù)列的判定，此題采取裂項的方法求和，考查分析解決問題的能力和運算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn+
an2
=3，n∈N*，又bn是an與an+1的等差中項，求{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n-2an-34，n∈N+
（1）證明：{an-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{Sn}的通項公式，并求出使得Sn+1＞Sn成立的最小正整數(shù)n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•嘉定區(qū)二模）已知數(shù)列{an}的通項為an=2n-1，Sn是{an}的前n項和，則
lim
n→∞
a
2
n
Sn
=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•長寧區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=5-4×2-n，則其通項公式為
an=
3(n=1)
4
2n
(n≥2)
an=
3(n=1)
4
2n
(n≥2)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的遞推公式為
a1=2
an+1=3an+1
，bn=an+
1
2
（n∈N*），
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

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