Question

如圖，已知PA與圓O相切于點A，OB⊥OP，AB交PO與點C．
（Ⅰ）求證：PA=PC；
（Ⅱ）若圓O的半徑為3，|OP|=5，求BC的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由于PA與圓O相切于點A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用對頂角相等可得∠OCB=∠PCA，進而得到∠PAC=∠PCA，即可證明PA=PC．
（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得AP=

OP2-OA2

=

52-32

，即可得出PC=4．進而得到OC=OP-CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC²=OB²+OC²即可．

解答： （1）證明：∵PA與圓O相切于點A，
∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．
∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．
∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．
∴∠PAC=∠OCB，
又∵∠OCB=∠PCA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
（2）解：在Rt△OAP中，AP=

OP2-OA2

=

52-32

=4．
∴PC=4．
∴OC=OP-CP=1．
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²=3²+1²=10．
∴BC=

10

．

點評：本題考查了圓的切線的性質、勾股定理、圓的性質、對頂角相等的性質、等角對等邊的性質等基礎知識，屬于基礎題．