已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,,n=2,3,4,….
(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)設,n=1,2,3…,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項公式;
(Ⅲ)對任意的m≥2,m∈N*,在數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)的2m項構成等差數(shù)列?若存在,寫出這2m項,并證明這2m項構成等差數(shù)列;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由題設條件可知a2=1+2a1=3,,a4=1+2a2=7,
(Ⅱ)由題意知,又,所以bn+1=2bn.再由可知bn=2n
(Ⅲ)對任意的m≥2,k∈N*,在數(shù)列{an}中,這連續(xù)的2m項就構成一個等差數(shù)列.再用分析法進行證明.
解答:解:(Ⅰ)因為a1=1,所以a2=1+2a1=3,,a4=1+2a2=7,(3分)
(Ⅱ)由題意,對于任意的正整數(shù)n,,
所以(4分)

所以bn+1=2bn(6分)
(7分)
所以{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=2n(8分)
(Ⅲ)存在.事實上,對任意的m≥2,k∈N*,在數(shù)列{an}中,
這連續(xù)的2m項就構成一個等差數(shù)列(10分)
我們先來證明:
“對任意的n≥2,n∈N*,k∈(0,2n-1),k∈N*,有
由(II)得,所以
當k為奇數(shù)時,
當k為偶數(shù)時,

因此要證,只需證明,
其中k1∈(0,2n-2),k1∈N*
(這是因為若,則當時,則k一定是奇數(shù),

=;
時,則k一定是偶數(shù),有
=
如此遞推,要證,只要證明,
其中,k2∈(0,2n-3),k2∈N*
如此遞推下去,我們只需證明,kn-2∈(0,21),kn-2∈N*
,即,由(I)可得,
所以對n≥2,n∈N*,k∈(0,2n-1),k∈N*,有
對任意的m≥2,m∈N*,,,
其中i∈(0,2m-1),i∈N*,
所以
,所以
所以這連續(xù)的2m項,
是首項為,公差為的等差數(shù)列(13分)
說明:當m2>m1(其中m1≥2,m1∈N*,m2∈N*)時,
因為構成一個項數(shù)為的等差數(shù)列,
所以從這個數(shù)列中任取連續(xù)的項,也是一個項數(shù)為,公差為的等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列性質的綜合應用,具有一定的難度,解題時要認真審題,注意培養(yǎng)計算能力.
練習冊系列答案
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已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

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1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
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已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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54
,求an
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2n-1
2n-1

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