Question

已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋物線上一點A（m，-3）到焦點F的距離是5，求拋物線的方程及m的值．

Answer 1

分三種情況加以討論
（1）當拋物線焦點在x軸正半軸上時，設其方程為y²=2px（p＞0）
代入A點坐標，得2pm=9…①
∵拋物線上一點A（m，-3）到焦點F的距離為5
∴m+

p

2

=5…②
將①②兩式聯解得：m=

1

2

、p=9或m=

9

2

、p=1，
相應的拋物線方程為y²=18x和y²=2x；
（2）當拋物線焦點在x軸負半軸上時，設其方程為y²=-2px（p＞0）
代入A點坐標，得-2pm=9…③
∵拋物線上一點A（m，-3）到焦點F的距離為5，∴-m+

p

2

=5…④
將③④兩式聯解得：m=-

1

2

、p=9或m=-

9

2

、p=1，
相應的拋物線方程為y²=-18x和y²=-2x；
可得m=-

1

2

或m=

9

2

，相應的拋物線方程為y²=-18x或y²=-2x；
（3）當拋物線焦點在y軸上時，設其方程為x²=-2qy（q＞0）
將點A（m，-3）代入方程，得m²=6q…③
∵拋物線上一點A（m，-3）到焦點F的距離為5
∴3+

q

2

=5解之得q=4，代入③得m=±2

6

此時拋物線的方程為x²=-8y，
綜上所述，拋物線方程為y²=18x，m=

1

2

；或拋物線方程為y²=2x，m=

9

2

；或拋物線方程為y²=-18x，m=-

1

2

；或拋物線的方程為y²=-2x，m=

9

2

；或拋物線的方程為x²=-8y，m=±2

6

．